控制图

1. 模型背景

世界上第一张控制图是由美国贝尔电话实验室（Bell Telephone Laboratory）质量课题研究小组过程控制组学术领导人休哈特博士提出的不合格品率p控制图。随着控制图的诞生，控制图就一直成为科学管理的一个重要工具，成了一个不可或缺的管理工具。它是一种有控制界限的图，用来区分引起的原因是偶然的还是系统的，可以提供系统原因存在的资讯，从而判断生产过程受控状态。控制图按其用途可分为两类，一类是供分析用的控制图，用来控制生产过程中有关质量特性值的变化情况，看工序是否处于稳定受控状态；另一类的控制图，主要用于发现生产过程是否出现了异常情况，以预防产生不合格品。

运用控制图的目的之一就是，通过观察控制图上产品质量特性值的分布状况，分析和判断生产过程是否发生了异常，一旦发现异常就要及时采取必要的措施加以消除，使生产过程恢复稳定状态。也可以应用控制图来使生产过程达到统计控制的状态。产品质量特性值的分布是一种统计分布。因此，绘制控制图需要应用概率论的相关理论和知识。

2. 模型原理

控制图亦称"质量管理图"、"质量评估图"，是根据假设检验的原理构造一种图，用于监测生产过程是否处于控制状态。它是统计质量管理的一种重要手段和工具。控制图是用于分析和判断过程是否处于稳定状态所使用的带有控制界限的图，是具有区分正常波动和异常波动的功能图表，是现场质量管理中重要的统计工具。

在生产过程中，产品质量由于受随机因素和系统因素的影响而产生变差；前者由大量微小的偶然因素叠加而成，后者则是由可辨识的、作用明显的原因所引起，经采取适当措施可以发现和排除。当一生产过程仅受随机因素的影响，从而产品的质量特征的平均值和变差都基本保持稳定时,称之为处于控制状态。此时,产品的质量特征是服从确定概率分布的随机变量，它的分布(或其中的未知参数)可依据较长时期在稳定状态下取得的观测数据用统计方法进行估计。分布确定以后，质量特征的数学模型随之确定。为检验其后的生产过程是否也处于控制状态，就需要检验上述质量特征是否符合这种数学模型。为此，每隔一定时间，在生产线上抽取一个大小固定的样本，计算其质量特征，若其数值符合这种数学模型，就认为生产过程正常，否则，就认为生产中出现某种系统性变化，或者说过程失去控制。这时，就需要考虑采取包括停产检查在内的各种措施，以期查明原因并将其排除，以恢复正常生产，不使失控状态延续而发展下去。

控制图上有三条平行于横轴的直线：中心线（CL，Central Line）、控制上限（UCL，Upper Control Line）和控制下限（LCL，Lower Control Line），并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列。UCL、LCL通常控制界限设定在±3标准差的位置，中心线是所控制的统计量的平均值。

控制线是控制图中判断过程是否失控的上下界限，超过控制线，表明过程已失控，控制线是项目管理团队（或项目经理）制定的。规格线是判断产品或成果是否符合要求，是次品的分界线，超过规格线，表明产品不合格，规格线是合同（用户）确定的。

图 控制图示例

3. 实施分析步骤

制作控制图一般要经过以下几个步骤：

• 按规定的抽样间隔和样本大小抽取样本；
• 测量样本的质量特性值，计算其统计量数值；
• 在控制图上描点；
• 判断生产过程是否有并行。

控制图为管理者提供了许多有用的生产过程信息时应注意以下几个问题：

• 根据工序的质量情况，合理地选择管理点。管理点一般是指关键部位、关健尺寸、工艺本身有特殊要求、对下工存有影响的关键点，如可以选质量不稳定、出现不良品较多的部位为管理点；
• 根据管理点上的质量问题，合理选择控制图的种类：
• 使用控制图做工序管理时，应首先确定合理的控制界限：
• 控制图上的点有异常状态，应立即找出原因，采取措施后再进行生产，这是控制图发挥作用的首要前提；
• 控制线不等于公差线，公差线是用来判断产品是否合格的，而控制线是用来判断工序质量是否发生变化的；
• 控制图发生异常，要明确责任，及时解决或上报。

制作控制图时并不是每一次都计算控制界限，那么最初控制线是怎样确定的呢?如果现在的生产条件和过去的差不多，可以遵循以往的经验数据，即延用以往稳定生产的控制界限。下面介绍一种确定控制界限的方法，即现场抽样法，其步骤如下：

• 随机抽取样品50件以上，测出样品的数据，计算控制界限，做控制图；
• 观察控制图是否在控制状态中，即稳定情况，如果点全部在控制界限内．而且点的排列无异常，则可以转入下一步；
• 如果有异常状态，或虽未超出控制界限，但排列有异常，则需查明导致异常的原因，并采取妥善措施使之处在控制状态，然后再重新取数据计算控制界限，转入下一步；
• 把上述所取数据作立方图，将立方图和标准界限(公差上限和下限)相比较，看是否在理想状态和较理想状态，如果达不到要求，就必须采取措施，使平均位移动或标准偏差减少，采取措施以后再重复上述步骤重新取数据，做控制界限，直到满足标准为止。

4. 输入输出参数设置

根据统计数据的类型不同，控制图可分为：计量控制图和计数控制图（包括计件控制图和计点控制图）。它们分别适用于不同的生产过程。每类又可细分为具体的控制图，最初主要包含七种基本图表。

计量型控制图包括：

• IX-MR（单值移动极差图）
• Xbar-R（均值极差图）
• Xbar-s（均值标准差图）

计数型控制图包括：

• P（用于可变样本量的不合格品率）
• Np（用于固定样本量的不合格品数）
• u（用于可变样本量的单位缺陷数）
• c（用于固定样本量的缺陷数）

5. 运行效果分析

控制图可用于：

• 诊断：评估一个过程的稳定性。
• 控制：决定某一过程何时需要调整，何时需要保持原有状态。

当过程发生异常质量波动时必须对过程进行调整，采取措施消除异常因素的作用(严加控制)。当过程能够稳定在合理的正常质量波动状态时，就应保持这种状态(听之任之)。

• 确认：确认某一过程的改进效果。

控制图是质量管理七个工具的核心。这里，质量管理七个工具分别为：因果图(cause-efective diagram)、排列图(pareto diagram)、直方图(histogram)、散布图(scatter diagram)、控制图(control chart)、分层图(stratification)、检查表(check list)。

6. 模型应用

下面用实例解释如何绘制和使用控制图。

H公司的管理层对客户最近投诉焦头烂额，这些投诉皆因产品的系统报表打印故障引起，由此导致了客户的损失和不满。H公司高层希望能充分评估这些故障的数据、发展趋势，以便确定究竟有多少此类bug没有得到纠正，并期望项目管理办公室（PMO）制定对此类投诉和问题的考核激励制度。

该产品涉及29个省市的138个项目，面对如此规模的项目组，H公司的PMO经理A感觉很棘手很显然，从所有项目上收集所有数据既费时又费力，现有条件也无法支持这种方法。但A没有必要收集所有数据，样本数据能够满足需要即可。A随机选择了6个项目部和一个为期5天的时间段，然后又从每个项目组每天随机抽取了100次打印样本。具体数据如下表

图 6个项目部为期5天的100个样本的随机数据

基于上述样本按照如下步骤绘制控制图：

第一步：画出样本数据的折线图

第二步：对数据进行计算

总故障数、总样本点及每个样本点的缺陷平均数，都直接来自统计数据表格1。其他数值的计算方法如下：

控制图的计算数据如下图所示：

图 控制图计算数据

第三步：添加均值线

第四步：添加控制线

在缺陷数控制图中，控制上（下）限用以下公式计算：

得出控制上限为16.6，控制下限为0.6。

把控制上限和控制下限添加到图中，就得到了控制图。